Dann wäre noch zu schauen/klären, ob du und dein Gegenüber auch als Kontakt im gespeichert und bestätigt ist. Videochats mit "fremden" funktioniert nicht. Des weitere wäre noch folgende Möglichkeiten:
Kamera während eines Gespräches deaktiviert
Mal mit/ohne WLAN testen
Skype neuinstallieren
Kamera in anderen Anwendungen mit Videotelefonie testen (WhatsApp, Messenger...)